Question

4．已知函数f（x）=（ax-a+2）•e^x．
（1）求f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）当a＞0时，设函数g（x）=a²x²-13ax-30，求最大的正整数a，使得对任意的x＞0，都有2f′（x）＞g（x）成立．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=（ax+2）e^x，再讨论①a=0时，②a＞0时，③a＜0时的情况，从而综合得出f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-a•{e}^{-\frac{2}{a}}，a＜-1}\\{（a+2）•{e}^{2}，a≥-1}\end{array}\right.$；
（2）化简g（x），求得f（x）的导数，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（ax+2）•e^x＞（ax+2）（ax-15），即为2e^x＞（ax-15），设p（x）=2e^x-（ax-15），求得p（x）的最小值，再设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，求出导数，求得单调区间，运用零点存在定理，即可得到a的最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（ax-a+2）•e^x的导数
f′（x）=（ax+2）e^x，
①a=0时，f′（x）=2e^x＞0，f（x）在[0，2]上递增，
∴f（x）_max=f（2）=（a+2）e²；
②a＞0时，f′（x）=（ax+2）e^x=a（x+$\frac{2}{a}$）e^x，
f（x）在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上递增，
∴f（x）在[0，2]上是增函数，此时f（x）_max=f（2）=（a+2）e²；
③a＜0时，f（x）=（ax+2）e^x=a（x+$\frac{2}{a}$）e^x，
f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上递增，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上递减，
若0＜-$\frac{2}{a}$＜2，即a＜-1时，
故f（x）在[0，-$\frac{2}{a}$]上为增函数，在[-$\frac{2}{a}$，2]上为减函数，
此时f（x）_max=f（-$\frac{2}{a}$）=-a•${e}^{-\frac{2}{a}}$；
若-$\frac{2}{a}$≥2，即-1≤a＜0时，f（x）在[0，2]上为增函数，则此时f（x）_max=f（2）=（a+2）e²，
综上：f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-a•{e}^{-\frac{2}{a}}，a＜-1}\\{（a+2）•{e}^{2}，a≥-1}\end{array}\right.$；
（2）由题设：函数g（x）=a²x²-13ax-30=（ax+2）（ax-15），（a＞1，a∈N^*），
f′（x）=（ax+2）•e^x，
当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（ax+2）•e^x＞（ax+2）（ax-15），
∴2e^x＞（ax-15），设p（x）=2e^x-（ax-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，
∵p′（x）=2e^x-a，故p（x）在（0，ln$\frac{a}{2}$）上递减，在（ln$\frac{a}{2}$，+∞）递增，
故（*）?p（x）_min=p（ln$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{2}$（a-aln$\frac{a}{2}$+15）＞0，
设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，
则h′（x）=-ln$\frac{x}{2}$，
故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
而h（2e²）=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln$\frac{15}{2}$）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，
且x∈[2，x₀]时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，
又∵h（1）=16-ln$\frac{1}{2}$＞0，14＜2e²＜15，
故所求的最大正整数a=15．

点评 本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．