Question

16．已知正数等比数列{a_n}，其中S_n为{a_n}的前n项和，a₂=$\frac{1}{4}，{S_3}=7{a_3}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{n}{a_n}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设正数等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₂=$\frac{1}{4}，{S_3}=7{a_3}$．
∴a₁q=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=$7{a}_{1}{q}^{2}$，
化为${a}_{1}q=\frac{1}{4}$，6q²-q-1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$=a₁，
∴${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（2）∵${b}_{n}=\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．