题目内容

19.已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$(0<b<2)离心率e=$\frac{1}{2}$,F1,A2分别为左焦点和右顶点,点P(m,n)在椭圆上,若∠F1PA2为锐角,则实数m的取值范围是(-2,2).

分析 根据已知中椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$(0<b<2)离心率e=$\frac{1}{2}$,求出椭圆的标准方程,结合∠F1PA2为锐角,可求实数m的取值范围.

解答 解:∵椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$(0<b<2),
∴a=2,
又∵椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$,
∴c=1,
则b2=a2-c2=3,
若点P(m,n)在椭圆上,
则$\left\{\begin{array}{l}m=2cosα\\ n=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$,(α为参数),
则$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=(-1-2cosα,-$\sqrt{3}$sinα),$\overrightarrow{{PA}_{2}}$=(2-2cosα,-$\sqrt{3}$sinα),
若∠F1PA2为锐角,则$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PA}_{2}}$=cos2α-2cosα+1=(cosα-1)2>0,
即cosα≠1,m≠2,
又由cosα=-1时,$\overrightarrow{{PF}_{1}}$与$\overrightarrow{{PA}_{2}}$同向,∠F1PA2=0,
故cosα≠-1,m≠-2,
即实数m的取值范围是(-2,2),
故答案为:(-2,2)

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质,向量的夹角,椭圆的参数方程,难度中档.

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