题目内容
【题目】已知短轴长为2的椭圆,直线
的横、纵截距分别为
,且原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线经过椭圆的右焦点
且与椭圆
交于
两点,若椭圆
上存在一点
满足
,求直线
的方程.
【答案】(1).(2)
或
.
【解析】试题分析:直线的方程有参数
,利用原点到其距离为
可以得到
的大小,从而得到椭圆的方程.(2)中的
三点满足向量关系式
,将各点坐标代入,可以得到三个点的坐标之间的关系,而
在椭圆上,所以
两点的坐标满足关系式
,再利用
两点在直线
上,得到关于
的一个关系式,利用韦达定理转化为
的方程可以解出
的值.
解析:(1)因为椭圆的短轴长为2,故
.依题意设直线
的方程为:
,由
.解得
,故椭圆的方程为
.
(2)设
当直线的斜率为0时,显示不符合题意.
当直线的斜率不为0时,
,设其方程为
,由
,得
,所以
①.
因为,所以
.又点
在椭圆
上,∴
.又∵
,
∴②,将
,及①代入②得
,即
或
.故直线
的方程为
或
.
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