题目内容
【题目】已知函数.(
)
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若函数在x=2处的切线斜率为
,不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(1)求得函数定义域,对函数求导,对分类讨论函数的单调区间.(2)先利用函数在
处切线的斜率为
求得
,然后对原不等式分离常数,得到
,将不等式右边构造函数,利用导数求得函数的最小值,由此求得
的取值范围.
【试题解析】
解:(1)函数
的定义域为
,
当时,
,从而
,故函数
在
上单调递减
当时,若
,则
,从而
,
若,则
,从而
,
故函数在
上单调递减,在
上单调递增;
(Ⅱ)求导数: ,
∴,解得a=1.
所以,即
,
由于,即
.
令,则
当时,
;当
时,
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
故,所以实数
的取值范围为
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