题目内容
【题目】如图,已知正方形的边长为
,点
分别在边
上,
与
的交点为
,
,现将
沿线段
折起到
位置,使得
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求五棱锥的体积;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求
;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在
.
【解析】试题分析:(1)要证平面平面
,即证
平面
;
(2) 连接AC,设AC∩EF=H,由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD,过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O,则A′O⊥平面ABCD,由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积.
(3)线段A′C上存在一点M,使得BM∥平面A′EF,A′M=.证明平面MBD∥平面A′EF, 即可得出结论.
试题解析:
(1)由是正方形,
,
是
的中点,且
,从而有
所以
平面
, 从而平面,平面
.
(2)过点作
垂直
且与
相交于点
,由(1)知
平面
,
因为正方形的边长为
,
,得到:
,
所以,所以
所以五棱锥的体积
.
(3)线段上存在点
,使得
平面
,
.
证明:
,
,所以
,所以
平面
,
又,所以
平面
, 所以平面
平面
,
由在平面
内,所以
平面
.
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