Question

17．已知函数f（x）=sin4xcosφ+sinφ-2sinφsin²2x（0＜φ＜π）的图象关于y轴对称．
（I）求函数f（x）的最小正周期与φ的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由函数y=f（x）的图象上所有的点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位内而得到，且g（x）在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （I）化简可得f（x）=sin（4x+φ），易得周期，再由函数图象关于y轴对称可得φ=kπ+$\frac{π}{2}$，结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，可得f（x）=cos4x；
（Ⅱ）由题意和图象变换可得g（x）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），由g（x）在区间（0，m）内是单调函数可得4m+$\frac{2π}{3}$≤π，解不等式可得．

解答 解：（I）化简可得f（x）=sin4xcosφ+sinφ-2sinφsin²2x
=sin4xcosφ+sinφ（1-2sin²2x）
=sin4xcosφ+cos4xsinφ
=sin（4x+φ），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∵函数图象关于y轴对称，
∴φ=kπ+$\frac{π}{2}$，结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos4x；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象上所有的点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位得到：
g（x）=cos4（x+$\frac{π}{6}$）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），
∵g（x）在区间（0，m）内是单调函数，
∴4m+$\frac{2π}{3}$≤π，解得0＜m≤$\frac{π}{12}$，
∴实数m的最大值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和性质以及图象变换，属中档题．