Question

8．已知函数f（x）=log_m（x²+4x+4a+1）（m＞0，且m≠1）对于任意x∈[0，+∞）都有意义．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在函数上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴？

Answer 1

分析 （1）由题意可得：当x∈[0，+∞）时，x²+4x+4a+1＞0，化为a＞$-\frac{1}{4}$（x²+4x+1）=g（x），等价于当x∈[0，+∞）时，a＞g（x）_max．利用二次函数的单调性即可得出．
（2）利用函数的单调性即可判断出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_m（x²+4x+4a+1）（m＞0，且m≠1）对于任意x∈[0，+∞）都有意义．
∴当x∈[0，+∞）时，x²+4x+4a+1＞0，化为a＞$-\frac{1}{4}$（x²+4x+1）=g（x），
∴当x∈[0，+∞）时，a＞g（x）_max．
g（x）=$-\frac{1}{4}（x+2）^{2}$+$\frac{3}{4}$≤g（0）=$-\frac{1}{4}$×2²+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$a＞-\frac{1}{4}$．
（2）由于x≥0时，函数h（x）=x²+4x+4a+1=（x+2）²+4a-3单调递增，f（x）=log_mh（x）也具有单调性，
因此在函数上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．

点评 本题考查了对数函数的单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．