题目内容

15.已知函数f(x)=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在(1,+∞)上是增函数,且a>0.
(1)求a的取值范围;
(2)求函数g(x)=ln(1+x)-x在[0,+∞)上的最大值;
(3)设a>1,b>0,求证:$\frac{1}{a+b}<ln\frac{a+b}{b}<\frac{a}{b}$.

分析 (1)求出函数的导数,由函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在(1,+∞)上恒成立,运用参数分离,求得最值即可;
(2)求得g(x)的导数,求得单调性,即可得到最小值;
(3)由(1)知f(x)=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在(1,+∞)上是增函数,所以f($\frac{a+b}{b}$)>f(1),由第(2)问可知g($\frac{a}{b}$)=ln(1+$\frac{a}{b}$)-$\frac{a}{b}$<g(0)=0,化简即可得证.

解答 解:(1)f(x)的导数为f′(x)=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$,
因为函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在(1,+∞)上恒成立,
即x≥$\frac{1}{a}$在(1,+∞)上恒成立,
所以只需1≥$\frac{1}{a}$,
又因为a>0,所以a≥1;
(2)因为x∈[0,+∞),所以g′(x)=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$≤0
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以g(x)=ln(1+x)-x在[0,+∞)上的最大值为g(0)=0.
(3)证明:因为a>1,b>0,所以$\frac{a+b}{b}$>1,
由(1)知f(x)=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在(1,+∞)上是增函数,所以f($\frac{a+b}{b}$)>f(1),
即$\frac{1-\frac{a+b}{b}}{a•\frac{a+b}{b}}$+ln$\frac{a+b}{b}$>0,化简得$\frac{1}{a+b}$<ln$\frac{a+b}{b}$,
又因为$\frac{a+b}{b}$=1+$\frac{a}{b}$,
由第(2)问可知g($\frac{a}{b}$)=ln(1+$\frac{a}{b}$)-$\frac{a}{b}$<g(0)=0,
即ln$\frac{a+b}{b}$<$\frac{a}{b}$,
综上$\frac{1}{a+b}<ln\frac{a+b}{b}<\frac{a}{b}$得证.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和最值,同时考查不等式的恒成立问题和不等式的证明,注意运用单调性,属于中档题.

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