题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆
的极坐标方程为
,其左焦点
在直线
上.
(1)若直线与椭圆
交于
两点,求
的值;
(2)求椭圆的内接矩形面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)将参数方程化为直角坐标方程可得F的坐标为(,0),联立直线的参数方程与椭圆方程,结合参数的几何意义计算可得
.
(2)结合椭圆方程,设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(
),据此可得内接矩形关于
的面积函数,结合三角函数的性质即可确定面积S取得最大值.
(1)将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,
得x2+3y2=48,即,
因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(,0),
又因为F在直线l上,所以.
把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,
化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,
所以.
(2)由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(
,4sinθ)(
),
所以内接矩形的面积,
当时,面积S取得最大值
.
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