题目内容
【题目】如图:在直角坐标系中,设椭圆
的左右两个焦点分别为
、
.过右焦点
与
轴垂直的直线
与椭圆C相交,其中一个交点为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的一个顶点为,求点M到直线
的距离;
(3)过中点的直线
交椭圆于P、Q两点,求
长的最大值以及相应的直线方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
【解析】
(1)设右焦点为
,令
,代入椭圆方程,可得
,
,解方程可得
,
,进而得到椭圆方程;(2)求得直线
的方程,由点到直线的距离公式,计算即可得到所求值;(3)过
中点的直线
的方程设为
,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,化简整理即可得到弦长的取值范围,再由斜率为0,求得直线方程,代入椭圆方程,求得
的长,即可得到最大值.
(1)设右焦点为
,
令,代入椭圆可得
,由
,即有
,
,
又,解得
,
,
则椭圆方程为.
(2)由题意可得,
,
直线的方程为
,
则点到直线
的距离为
;
(3)过中点的直线
的方程设为
,
代入椭圆方程,可得,
由于中点在椭圆内,故直线与椭圆相交,
设交点,
,即有
,
,
弦长
,
令,
则,
当,即
时,取得最小值
,
即有,
当直线时,代入椭圆方程,可得
,
即有,
综上可得,的最大值为
,此时直线方程为
.
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