题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点
是椭圆
上的一个动点，且
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
作直线
交椭圆于
、
两点，过点
作直线的垂线
交圆
:
于另一点
.若
的面积为3，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意可知：当
为
的短轴顶点时，
面积取最大值，又离心率为
，则可以列出方程
，解出
的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线
的方程为
，直线
的方程为
，分别与椭圆和圆联立，用K表示出线段AB的长和点N到直线的距离，表示出
的面积，即可求出斜率的值.
解：（1）∵椭圆的离心率为，当为的短轴顶点时，
的面积有最大值
.
∴,解得
，
故椭圆的方程为：.
（2）若的斜率为0，则
，
，
∴的面积为
，不合题意，所以直线的斜率不为0.
设直线的方程为，
由
消去
得
，
设
，
，
则
，
，
∴
.
直线的方程为，即
，
∴
.
∴的面积
，
解得
，即直线的斜率为.
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