题目内容
【题目】在数列
中，若
是正整数，且
，
，则称为“D-数列”.
(1) 举出一个前五项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前五项)；
(2) 若“D-数列”中，
，
，数列
满足
，
，写出数列的通项公式，并分别判断当
时，
与
的极限是否存在，如果存在，求出其极限值(若不存在不需要交代理由)；
(3) 证明: 设“D-数列”中的最大项为
，证明: 
或
.
【答案】(1) 
；(2) 
，
不存在，
存在，
；(3) 证明见解析.
【解析】
（1）依照定义写出数列即可.
（2）计算可得为周期数列，且周期为3，故可得
与
的通项公式，根据通项公式可判断数列的极限存在与否.
（3）利用反证法可证明
或
.
(1) 如等等.
(2) 因为
，
，故
，
，
，
故为周期数列，且周期为3，其通项公式为
.
的极限不存在.
而
时，
，所以
的极限存在，.
(3) 由题设有
或
.
假设
且
.
注意到
.
故对一切，均有
，这与的最大项为
矛盾，从而假设不成立，或.
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