题目内容
【题目】在数列中,若
是正整数,且
,
,则称
为“D-数列”.
(1) 举出一个前五项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前五项);
(2) 若“D-数列”中,
,
,数列
满足
,
,写出数列
的通项公式,并分别判断当
时,
与
的极限是否存在,如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);
(3) 证明: 设“D-数列”中的最大项为
,证明:
或
.
【答案】(1) ;(2)
,
不存在,
存在,
;(3) 证明见解析.
【解析】
(1)依照定义写出数列即可.
(2)计算可得为周期数列,且周期为3,故可得
与
的通项公式,根据通项公式可判断数列的极限存在与否.
(3)利用反证法可证明或
.
(1) 如等等.
(2) 因为,
,故
,
,
,
故为周期数列,且周期为3,其通项公式为
.
的极限不存在.
而时,
,所以
的极限存在,
.
(3) 由题设有或
.
假设且
.
注意到.
故对一切,均有
,这与
的最大项为
矛盾,从而假设不成立,
或
.
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