题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若关于的方程
有四个不同的解
,
,
,
,求实数
,
应满足的条件;
(3)在(2)条件下,若,
,
,
成等比数列,求
用
表示.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
;(2)
;(3)
【解析】
(1)当可得
,进而求得单调区间即可;
(2)对求导可得
,分别讨论
和
的情况时
的单调性,进而求解即可;
(3)在(2)的条件下,可得或
,整理可得
或
,利用韦达定理求解即可
解:(1)当时,
函数,
故的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2),
则,
当时,当
时,
,设
,则
在
上单调,且
,
,因为
,所以则
,所以
的单调递增区间为
;
当时,
,设
,则
在
上单调递减,因为
且
,所以
,所以
的单调递减区间为
,不符合题意;
当时, 令
,则当
时,
;当
时,
;
所以在或
上
;在
或
,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
又由,
∴方程有四个不同的解
,
,
,
时,
,
应满足的条件为:
(3)由(2),,即
或
,
即或
,
由韦达定理可得,
若,
,
,
成等比数列,则
,
由等比中项可得,所以
,所以
,
,
,
,
解得
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