题目内容
【题目】如图,圆与直线
相切于点
,与
正半轴交于点
,与直线
在第一象限的交点为
. 点
为圆
上任一点,且满足
,以
为坐标的动点
的轨迹记为曲线
.
(1)求圆的方程及曲线
的方程;
(2)若两条直线和
分别交曲线
于点
和
,求四边形
面积的最大值,并求此时的
的值.
(3)已知曲线的轨迹为椭圆,研究曲线
的对称性,并求椭圆
的焦点坐标.
【答案】(1),
(2)
时,四边形
的面积最大值为
.(3)
【解析】
(1)由圆半径为圆心到切线距离得圆半径,从而得圆方程,由表示出
点坐标代入圆
方程可得曲线
的方程.
(2)把方程代入曲线
的方程求得
的坐标,得
,同理可得
,由
得
,应用整体换元法结合基本不等式可求得最值(也可变形为
,求最值);
(3)由曲线的方程可得对称性:关于直线
对称,关于原点对称,求出它与对称轴的交点即顶点坐标,得出
,求出
,从而可得焦点坐标.
解:(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为
.
由得,
,将
代入
得为曲线
的方程.
(2)由
得,
,
所以,同理
.
由题意知 ,所以四边形
的面积
.
∵ ,∴
.
当且仅当时等号成立,此时
.
∴ 当时,四边形
的面积最大值为
.
(3) 曲线的方程为
,它关于直线
、
和原点对称,
下面证明:
设曲线上任一点的坐标为
,则
,点
关于直线
的对称点为
,显然
,所以点
在曲线
上,故曲线
关于直线
对称,
同理曲线关于直线
和原点对称.
证明:求得和直线
的交点坐标为
,
和直线
的交点坐标为
,
,
,
,
.
在上取点
.
设为曲线
上任一点,则
(因为
)
.
即曲线上任一点
到两定点
的距离之和为定值
.
若点到两定点
的距离之和为定值
,可以求得点
的轨迹方程为
(过程略).
故曲线是椭圆,其焦点坐标为
.
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