题目内容
【题目】设数列共有
项,记该数列前
项
,
,…,
中的最大项为
,该数列后
项
,
,…,
中的最小项为
,
(
1,2,3,…,
).
(1)若数列的通项公式为
,求数列
的通项公式;
(2)若数列是单调数列,且满足
,
,求数列
的通项公式;
(3)试构造一个数列,满足
,其中
是公差不为零的等差数列,
是等比数列,使得对于任意给定的正整数
,数列
都是单调递增的,并说明理由.
【答案】(1),
;(2)
,
;(3)见解析.
【解析】
(1)由单调递增,可得
,
,即可得到
;
(2)由题意可得,即
,又因为
,2,3,
,
,所以
单调递增,可得
是公差为2的等差数列,进而得到所求通项公式;
(3)构造,其中
,
,运用新定义即可得证.
解:(1)因为单调递增,
所以,
,
所以,
;
(2)根据题意可知,,
,
因为,所以
,
可得,即
,
又因为,2,3,
,
,所以
单调递增,
则,
,所以
,即
,
,
所以是公差为2的等差数列,
,
;
(3)构造,其中
,
,
下证数列满足题意.
证明:因为,所以数列
单调递增,
所以,
,
所以,
,
因为,
所以数列单调递增,满足题意.
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