题目内容

(本小题满分16分)
设数列的前项和为,已知).
(1)求的值;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)抽去数列中的第1项,第4项,第7项,……,第项,……,余下的项顺序不变,组成一个新数列,若的前项的和为,求证:
(1)
(2)见解析
(3)见解析
(1)令n=1和n=2求出数列的前2项;(2)利用已知式子构造递推式子,作差得出关于的递推式,然后根据等比数列的概念求出数列的通项;(3)先根据数列的前N项和知识求出,然后利用放缩思想求出的范围
解:(1)
(2),①
时,。②
由①-②,得
所以

是以4为首项,2为公比的等比数列。
(3)由(2)得
抽去数列中得第1项、第4项、第7项、…、第项得到数列为
它的奇数项组成一个以4为首项,8为公比的等比数列,偶数项组成一个以8为首项,8为公比的等比数列。
所以当













综上,
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