题目内容
(本小题满分16分)
设数列
的前项和为
,已知
(
).
(1)求
的值;
(2)求证:数列
是等比数列;
(3)抽去数列
中的第1项,第4项,第7项,……,第
项,……,余下的项顺序不变,组成一个新数列
,若
的前
项的和为
,求证:
.
设数列




(1)求

(2)求证:数列

(3)抽去数列







(1)
(2)见解析
(3)见解析

(2)见解析
(3)见解析
(1)令n=1和n=2求出数列的前2项;(2)利用已知式子构造递推式子,作差得出关于
的递推式,然后根据等比数列的概念求出数列
的通项;(3)先根据数列的前N项和知识求出
,然后利用放缩思想求出
的范围
解:(1)
(2)
,①
当
时,
。②
由①-②,得
所以
,

是以4为首项,2为公比的等比数列。
(3)由(2)得
,
抽去数列
中得第1项、第4项、第7项、…、第
项得到数列为
为
,
它的奇数项组成一个以4为首项,8为公比的等比数列,偶数项组成一个以8为首项,8为公比的等比数列。
所以当
时






。
当
时






。
综上,




解:(1)

(2)




由①-②,得

所以




(3)由(2)得


抽去数列





所以当








当








综上,


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