Question

（本题满分12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）根据斜率情况进行分类讨论，分别证明知直线垂直，从而=4

解：（Ⅰ），椭圆方程为……2分
准圆方程为。                                   …………3分
（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），
即为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直.        …………………………6分
②当都有斜率时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则消去，得.
由化简整理得：.…………………………8分
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.                      …………………………10分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.       ………………………12分