Question

【题目】已知为坐标原点，圆：，定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）不垂直于轴且不过点的直线与曲线相交于两点，若直线、的斜率之和为0，则动直线是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）由垂直平分线性质与椭圆的定义可知点Q的轨迹为椭圆，长轴长等于半径,点F、点N分别为左右焦点，由椭圆参数的性质可求得椭圆方程；

（Ⅱ）由题意假设直线l的方程与交点坐标，与椭圆联立，由斜率公式，表示出两直线斜率，由斜率之和为0列式可求得参数的等量关系，代入直线，即可求得恒过某点.

（Ⅰ）由题意可知，又，由椭圆的定义知动点的轨迹是为焦点的椭圆，故，即所求椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，点，，联立曲线与直线的方程得

，

由已知，直线、的斜率之和为，

，

即有：，化简得：

直线的方程为，所以直线过过定点．