Question

【题目】已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R． （Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3| 当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，
令|m﹣3|≥2m，
∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．
解得：m≤﹣3，或m≤1
∴m的最大值为1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（ + +1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，
∴4a2+9b2+c2≥ ，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．
即当且仅当a= ，b= ，c= 时，4a2+9b2+c2的最小值为
【解析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．（Ⅱ）构造柯西不等式即可得到结论．