题目内容
【题目】已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R. (Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此时a,b,c的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|(x﹣3)﹣(x﹣m)|=|m﹣3| 当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号,
令|m﹣3|≥2m,
∴m﹣3≥2m,或m﹣3≤﹣2m.
解得:m≤﹣3,或m≤1
∴m的最大值为1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=1.
由柯西不等式:( +
+1)( 4a2+9b2+c2)≥(a+b+c)2=1,
∴4a2+9b2+c2≥ ,等号当且仅当4a=9b=c,且a+b+c=1时成立.
即当且仅当a= ,b=
,c=
时,4a2+9b2+c2的最小值为
【解析】(Ⅰ)利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|(x﹣3)﹣(x﹣m)|=|m﹣3|,对x与m的范围讨论即可.(Ⅱ)构造柯西不等式即可得到结论.
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