Question

18．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=2，tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，0）．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{1}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$的值；
（3）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）直接展开两角和的正切求得tanα的值；
（2）把要求值的式子化为正切得答案；
（3）利用“配角”方法求出2α-β的正切值，再由已知角的范围求出2α-β的范围得答案．

解答 解：（1）由tan（$\frac{π}{4}$+α）=2，得$\frac{tan\frac{π}{4}+tanα}{1-tan\frac{π}{4}tanα}=2$，即$\frac{1+tanα}{1-tanα}=2$，解得tan$α=\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{1}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{2tanα+1}=\frac{\frac{1}{9}+1}{\frac{2}{3}+1}=\frac{2}{3}$；
（3）∵tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tan$α=\frac{1}{3}$，
∴tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=$\frac{tan（α-β）+tanα}{1-tan（α-β）tanα}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1．
又α∈（0，$\frac{π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，0），
∴2α∈（0，$\frac{π}{2}$），$-β∈（0，\frac{π}{4}）$，则2α-β∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴2α-β=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式，考查了两角和的正切，体现了转化思想方法在解题中的应用，是中档题．