Question

5．求下列函数的n阶导数：
（1）ln（1+x）；
（2）sin²x；
（3）xe^x；
（4）$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$．

Answer 1

分析 分别一级一级的求导，找到相应的规律即可．

解答 解：（1）y′=$\frac{1}{1+x}$，
y″=-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$，
y^（3）=$\frac{2}{（1+x）^{3}}$，
y^（4）=$-\frac{6}{（1+x）^{4}}$，
∴y^（n）=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{（n-1）!}{（1+x）^{n}}$．
（2））y′=2sinxcosx=sin2x，
y″=2cos2x，
y^（3）=-4sin2x，
y^（4）=-8cos2x，
y^（5）=16sin2x，
y^（6）=32cos2x，
∴当n=4k+1时，y^（n）=2^n-1sin2x；
当n=4k+2时，y^（n）=2^n-1cos2x；
当n=4k+3时，y^（n）=-2^n-1sin2x
当n=4k时，y^（n）=-2^n-1cos2x．
（3）y′=e^x+xe^x=e^x（x+1），
y″=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
y^（3）=e^x（x+2）+e^x=e^x（x+3），
∴y^（n）=e^x（x+n）．
（4）y′=-$\frac{1}{2}$（1+x）${\;}^{-\frac{3}{2}}$，
y″=-$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{2}$）（1+x）${\;}^{-\frac{5}{2}}$=$\frac{1•3}{{2}^{2}}$（1+x）${\;}^{-\frac{5}{2}}$，
y^（3）=-$\frac{1•3•5}{{2}^{3}}$（1+x）${\;}^{-\frac{7}{2}}$，
∴y^（n）=（-1）ⁿ$\frac{1•3•5…（2n-1）}{{2}^{n}}$（1+x）${\;}^{-\frac{1}{2}-n}$．

点评 本题考查了n阶导数的求法，关键是找到规律，属于基础题．