Question

19．函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$图象的对称中心的坐标为（-1008，0）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，构造函数f（x-1008），判断函数的奇偶性，结合函数图象的变化关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$，
∴f（x-1008）=$\frac{1}{x-1007}$+$\frac{1}{x-1006}$+…+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+1}$+…+$\frac{1}{x+1007}$，
设g（x）=f（x-1008）=$\frac{1}{x-1007}$+$\frac{1}{x-1006}$+…+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+1}$+…+$\frac{1}{x+1007}$，
则g（-x）=$\frac{1}{-x-1007}$+$\frac{1}{-x-1006}$+…+$\frac{1}{-x}$+$\frac{1}{-x+1}$+…+$\frac{1}{-x+1007}$
=-（$\frac{1}{x-1007}$+$\frac{1}{x-1006}$+…+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+1}$+…+$\frac{1}{x+1007}$）=-g（x），
即g（x）是奇函数，
则g（x）关于原点对称，
则f（x）=g（x+1008），
则将g（x）沿着x轴，向左平移1008个单位，此时函数为f（x），图象关于（-1008，0）对称，
故函数f（x）的对称中心为（-1008，0）．
故答案为：（-1008，0）．

点评 本题主要考查函数对称中心的求解，利用函数奇偶性的性质，构造一个奇函数是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．