题目内容
【题目】已知函数
若
，求
的单调区间；
是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I）单调增区间为
，单调减区间为
；（II）存在实数
，使
的最小值为0.
【解析】
根据
代入函数表达式，解出
，再代入原函数得
，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间；
先假设存在实数a，使的最小值为0，根据函数表达式可得真数
恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数
的性质，可列出式子：
，由此解出，从而得到存在a的值，使的最小值为0．
且，
可得函数
真数为
函数定义域为
令
可得：当
时，t为关于x的增函数；
当
时，t为关于x的减函数．
底数为
函数的单调增区间为，单调减区间为
设存在实数a，使的最小值为0，
由于底数为，可得真数恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当
时，t值为1．
因此存在实数，使的最小值为0．
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【题目】某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
分组 | 频数 | 频率 |
[39．95,39．97） | 10 | |
[39． 97,39．99） | 20 | |
[39．99,40．01） | 50 | |
[40．01,40．03] | 20 | |
合计 | 100 |
（Ⅰ）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40．00 mm，试求这批球的直径误差不超过0．03 mm的概率；
（Ⅲ）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[39．99,40．01）的中点值是40．00作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．
