Question

【题目】如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．

Answer 1

【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析

【解析】

设为抛物线上一点，法线与轴交于，反射光线为，为抛物线的焦点，的斜率，根据角的正切值，证明即可.

远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．

证明：不妨设抛物线方程为：y2＝2px（p＞0），焦点为F，P为抛物线上一点，FP的反射光线为PN，

如图所示：设抛物线过点P的切线为直线l，法线交x轴于M，

由光的反射性质可知∠FPM＝∠MPN，

由y2＝2px，不妨设P在第一象限，P（，y0），

当y0＝0时，直线l与y轴重合，显然PN与x轴重合，

当y0≠0时，设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为：y＝k（x）+y0，

代入抛物线方程可得：ky2﹣2py﹣ky02+2py0＝0，

令△＝4p2﹣4k（2py0﹣ky02）＝0可得k，

故法线PM的斜率为．

不妨设P在第一象限，设∠PMx＝α，∠PFM＝β，∠NPM＝θ，

则tanα，tanβ，

∴tanθ＝tan∠FPM＝tan（α﹣β）．

∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，

∴PN∥x轴．