Question

【题目】已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设，为数列的前项和，求不超过的最大整数.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意得出关于的方程，求出的值，可得出等比数列的通项公式，进而可得出关于和的方程组，求出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求出该数列的前项和；

（3）求出，可得出，然后利用分组求和法与裂项求和法求出，可得出，由此可得出不超过的最大整数.

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，.

又，解得，.

由，可得 ①，

由，可得 ②，

联立①②，解得，，由此可得.

数列的通项公式为，数列的通项公式为；

（2）设数列的前项和为，

由，，有，

，

，

上述两式相减，得.

得，数列的前项和为；

（3）由（1）知：，则.

，

，

，因此，不超过的最大整数为.