题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若函数
的导函数
的图象与
轴交于
,
两点,其横坐标分别为
,
,线段
的中点的横坐标为
,且
,
恰为函数
的零点,求证:
.
【答案】(1)当时,
在
内单调递增;当
时,
在
内单调递减,在
,
内单调递增;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)对函数求导后,利用导数与函数单调性的关系,对进行讨论可得函数单调性;(2)由函数的导函数可知,
又是
的零点,代入相减化简得
,对
求导,
.令
,求得函数
.不等式得证.
试题解析:(1)由于的定义域为
,则
.对于方程
,其判别式
.当
,即
时,
恒成立,故
在
内单调递增.当
,即
,方程
恰有两个不相等是实
,令
,得
或
,此时
单调递增;令
,得
,此时
单调递减.
综上所述,当时,
在
内单调递增;当
时,
在
内单调递减,在
,
内单调递增.
(2)由(1)知, ,所以
的两根
,
即为方程
的两根.因为
,所以
,
,
.又因为
,
为
的零点,
所以,
,两式相减得
,得
.而
,所以
.
令,由
得
,因为
,两边同时除以
,得
,因为
,故
,解得
或
,所以
.设
,所以
,则
在
上是减函数,所以
,
即的最小值为
.
所以.
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