题目内容
16．桌子上有两个形状完全相同的盒子，第一个盒子里有2个白球和4个红球，第二个盒子里有2个黑球和1个红球．每次操作都是先在两个盒子中随机地选出一个盒子，再在这个盒子中随机地选出一个球．（1）求操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率；
（2）如果每次操作之后都将选出的球放回到原来盒子中，那么重复操作4次后，求其中红球个数的分布列和期望；
（3）如果操作一次取出的是红色球，求这个球来自于第一个盒子的概率．
分析 （1）由已知得选出的球是红球，由此能求出操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率．
（2）重复操作4次后，其中红球个数X～B（4，$\frac{1}{2}$），由此能求出红球个数的分布列和期望．
（3）设A1表示取到的红球来自第一个盒子，A2表示取到的盒子来自第二个盒子，B表示取到红球，由此利用条件概率公式能求出操作一次取出的是红色球，这个球来自于第一个盒子的概率．
解答 解：（1）∵操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子，
∴选出的球是红球，
∴操作一次之后无法判断所选的盒子是第几个盒子的概率：
p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（2）每次取到红取的概率都是p=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴重复操作4次后，其中红球个数X～B（4，$\frac{1}{2}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{16}$ |
（3）设A1表示取到的红球来自第一个盒子，A2表示取到的盒子来自第二个盒子，B表示取到红球，
由P（A1B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴操作一次取出的是红色球，这个球来自于第一个盒子的概率：
P（A1/B）=$\frac{P（{A}_{1}B）}{P（{B}_{\;}）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率和二项分布的合理运用．
| A． | $\frac{{x}^{2}}{2}$+2y2=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 |
| A． | [-∞，4] | B． | [4，+∞） | C． | （-∞，4） | D． | （-∞，1）∪（1，4] |