Question

6．证明下列不等式：
（1）当x＞1时，e^x＞e•x
（2）设x＞0，证明：ln（1+x）＜x
（3）当x＞0时，ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=e^x-e•x，利用导数可得，函数f（x）在（1，+∞）上是单调递增的，故f（x）＞f（1）=0，从而证得不等式e^x＞e•x．
（2）设函数y=x-ln（1+x），利用导数可得y在（0，+∞）上单调递增，故x-ln（1+x）＞0-ln1=0，从而得到 x＞ln（1+x）．
（3）证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，本题即证lnt＞$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$．利用导数可得令f（t）=ln t-1+$\frac{1}{t}$在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）=0，从而证得不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$成立．

解答 解：（1）设f（x）=e^x-e•x，则当x＞1，f′（x）=e^x-e＞0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是单调递增的，故f（x）＞f（1）=0，
即e^x＞e•x．
（2）证明：设x＞0，函数y=x-ln（1+x），∵y′=1-$\frac{1}{x+1}$＞0，
故函数y在（0，+∞）上单调递增，故x-ln（1+x）＞0-ln1=0，
即x＞ln（1+x）．
（3）证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，本题即证lnt＞$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$．
令f（t）=ln t-1+$\frac{1}{t}$，t＞1，则f′（t）=$\frac{1}{t}$-0-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
故f（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）=0，
∴ln t＞1-$\frac{1}{t}$，即 ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性证得不等式成立，体现了转化、换元的数学思想，属于中档题．