Question

【题目】已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 =1．
（1）求角A；
（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =1．

∴由正弦定理可得： =1，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，

∴由余弦定理可得：cosA= = = ，

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵A= ，a=4 ，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4 时等号成立，

又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，

∴可得：b+c≤8 ，

又∵b+c＞a=4 ，

∴b+c∈（4 ，8 ]

【解析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA= ，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可得：bc≤48，可得：b+c≤8 ，结合三角形两边之和大于第三边，即可得解b+c的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．