Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC= AC，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴PA⊥AC，

又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，

以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设PA=2，则 ，

∵ ，∴PD⊥AB．

设 ，

若AE⊥PD，则 ，即 ，

即﹣4+λ8=0，得 ，即当E为PC的中点时，AE⊥PD，

则PD⊥平面ABE，

∴当E为PC的中点时PD⊥平面ABE

（2）解：设平面PCD的一个法向量 =（x，y，z）， ，

则 且 ，

即 且 ，令 ，则z=2，x=1，则 ，

再取平面PAD的一个法向量为 =（1，0，0）．

则cos＜ ＞= = ，

故二面角A﹣PD﹣C的余弦值为 ．

【解析】由已知可得PA⊥AC，结合面面垂直的性质可得PA⊥AB，PA⊥AD，以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标．（1）由数量积为0可得PD⊥AB，设 ，再由 求得λ值，则点E的位置确定；（2）求出平面PCD的一个法向量，取平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能确解答此题．