Question

12．已知抛物线 C：y²=2px（p＞0），过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为$2\sqrt{7}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l交抛物线C于F、G两点，交x轴于点D，设$\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}$，试问λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线m的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为$2\sqrt{7}$，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+2与y²=4x，联立得k²x²+（4k-4）x+4=0，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}$，可得λ₁+λ₂为定值．

解答 解：（1）由已知：直线m的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，
得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，|AB|=x₁+x₂+p=4p
且线段AB的中点为（$\frac{3p}{2}$，p），…（3分）
由已知7+$\frac{9{p}^{2}}{4}$=4p²，
解得p=2或p=-2（舍去），
所以抛物线C的方程为：y²=4x；…（6分）
（2）设直线l：y=kx+2与y²=4x，联立得k²x²+（4k-4）x+4=0
设F（x₃，y₃），G（x₄，y₄）
则${x_3}+{x_4}=\frac{{4-4{k^2}}}{k^2}，{x_3}{x_4}=\frac{4}{k^2}$…（8分）
$\begin{array}{l}\overrightarrow{PF}={λ_1}\overrightarrow{FD}⇒（{x_3}，{y_3}-2）={λ_1}（-\frac{2}{k}-{x_3}，-{y_3}）；\\ \overrightarrow{PG}={λ_2}\overrightarrow{GD}⇒（{x_4}，{y_4}-2）={λ_2}（-\frac{2}{k}-{x_4}，-{y_4}）；\end{array}$
所以${λ_1}=\frac{x_3}{{-\frac{2}{k}-{x_3}}}=-\frac{{k{x_3}}}{{k{x_3}+2}}，{λ_2}=-\frac{{k{x_4}}}{{k{x_4}+2}}$，…（10分）
则${λ_1}+{λ_2}=-\frac{{k{x_3}}}{{k{x_3}+2}}-\frac{{k{x_4}}}{{k{x_4}+2}}=-\frac{{2{k^2}{x_3}{x_4}+2k（{x_3}+{x_4}）}}{{{k^2}{x_3}{x_4}+2k（{x_3}+{x_4}）+4}}$，
将${x_3}+{x_4}=\frac{{4-4{k^2}}}{k^2}，{x_3}{x_4}=\frac{4}{k^2}$代入上式得-1＜x＜0，
即∠APC为定值-1．…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．