Question

（本小题满分12分）如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点.

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）.（2）在线段上存在一点满足条件，且长度为.

由题意得射线 AB、AD、AP两两垂直，可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助于向量求解。（1）要注意异面直线与所成角的余弦值非负；（2）设存在点，，由点到平面的距离恰为，可得根据两点间的距离公式得
（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为
，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.