题目内容
已知函数f(x)=
+m,m∈R.
(1)若m=-
,求证:函数f(x)是R上的奇函数;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,求实数m的取值范围.
1 |
2x+1 |
(1)若m=-
1 |
2 |
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,求实数m的取值范围.
(1)定义域为R关于原点对称.因为
f(x)+f(-x)=
-
+
-
=
-
+
-
=0,
所以函数f(x)是定义在R上的奇函数.
(2)f'(x)=-
<0,
∴f(x)是实数集R上的单调递减函数(不说明单调性扣2分)
又函数f(x)的图象不间断,在区间(1,2)恰有一个零点,有f(1)f(2)<0
即(m+
)(m+
)<0解之得-
<m<-
,故函数
f(x)在区间(1,2)没有零点时,实数m的取值范围是m≥-
或m≤-
…(14分)
f(x)+f(-x)=
1 |
2x+1 |
1 |
2 |
1 |
2-x+1 |
1 |
2 |
1 |
2x+1 |
1 |
2 |
2x |
2x+1 |
1 |
2 |
所以函数f(x)是定义在R上的奇函数.
(2)f'(x)=-
2xln2 |
(1+2x)2 |
∴f(x)是实数集R上的单调递减函数(不说明单调性扣2分)
又函数f(x)的图象不间断,在区间(1,2)恰有一个零点,有f(1)f(2)<0
即(m+
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
3 |
1 |
5 |
f(x)在区间(1,2)没有零点时,实数m的取值范围是m≥-
1 |
5 |
1 |
3 |
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