题目内容

15.设数列{an}中a1=3,且an+1=an2,则数列{an}的通项公式为an=${3}^{{2}^{n-1}}$.

分析 通过a1=3及an+1=an2写出前几项的值,猜测通项公式,进而用数学归纳法证明即可.

解答 解:∵a1=3,且an+1=an2
∴a2=32=${3}^{{2}^{1}}$,${a}_{3}={3}^{{2}^{2}}$,${a}_{4}={3}^{{2}^{3}}$,
猜测:an=${3}^{{2}^{n-1}}$.
下面用数学归纳法来证明:
①当n=1时显然成立;
②假设当n=k(k≥2)时也成立,即ak=${3}^{{2}^{k-1}}$,
∴ak+1=${{a}_{k}}^{2}$=$({3}^{{2}^{k-1}})^{2}$=${3}^{{2}^{k-1+1}}$=${3}^{{2}^{k}}$,
即当n=k+1时也成立;
由①、②可知数列{an}的通项公式为an=${3}^{{2}^{n-1}}$,
故答案为:an=${3}^{{2}^{n-1}}$.

点评 本题考查数列的通项,考查数学归纳法,注意解题方法的积累,属于中档题.

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