Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2kx}{{{x^2}+6k}}$（k＞0）
（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx²+kx+3＞0的解集；
（2）若存在x＞3，使得f（x）＞1成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，利用韦达定理求得m、k的值，可求得不等式5mx²+kx+3＞0的解集．
（2）由题意可得存在x＞3，使得$k＞\frac{x^2}{2x-6}$成立，故k＞g（x）_min．再利用基本不等式求得g（x）_min，可得k的范围．

解答 解：（1）不等式$f（x）＞m?\frac{2kx}{{{x^2}+6k}}＞m?m{x^2}-2kx+6km＜0$，
∵不等式mx²-2kx+6km＜0的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，∴-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2k}{m}=-5}\\{6k=6}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-\frac{2}{5}}\end{array}}\right.$，故有 $5m{x^2}+kx+3＞0?2{x^2}-x-3＜0?-1＜x＜\frac{3}{2}$，
∴不等式5mx²+kx+3＞0的解集为$（{-1，\frac{3}{2}}）$．
（2）$f（x）＞1?\frac{2kx}{{{x^2}+6k}}＞1?{x^2}-2kx+6k＜0?（{2x-6}）k＞{x^2}$．
存在x＞3，使得f（x）＞1成立，即存在x＞3，使得$k＞\frac{x^2}{2x-6}$成立．
令$g（x）=\frac{x^2}{2x-6}，x∈（{3，+∞}）$，则k＞g（x）_min．
令2x-6=t，则t∈（0，+∞），$y=\frac{{{{（{\frac{t+6}{2}}）}^2}}}{t}=\frac{t}{4}+\frac{9}{t}+3≥2\sqrt{\frac{t}{4}•\frac{9}{t}}+3=6$，
当且仅当$\frac{t}{4}=\frac{9}{t}$即$t=\frac{3}{2}$时等号成立．
∴$g{（x）_{min}}=g（{\frac{15}{4}}）=6$，故 k∈（6，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质、基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．