Question

【题目】给出下列四个命题：
①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值
③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是
④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）
其中正确命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：对于①，∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
∴x=0时f（x）有极大值，x=2时f（x）有极小值，∴①错误．
对于②，由①知，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴x=0时f（x）有极大值f（0），也是最大值，∴②错误．
对于③，∵ ，解得 ，或 ；
∴由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积
S= （x﹣x2）dx=（ x2﹣ x3） = ﹣ = ，∴③正确．
对于④，∵f′（x）= +a=2（x＞0），∴a=2﹣ ＜0；
∴a的取值范围是（﹣∞，2），
又当a=2﹣ 时，f（x）的一条切线方程为2x﹣y=0，∴④错误．
综上，以上正确的命题为③．
故选：A．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．