题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣3，数列{bn}的前n项和Tn满足 
= 
+1且b1=1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn= 
，求数列{cn}的前n项和Pn；
（3）数列{Sn}中是否存在不同的三项Sp ， Sq ， Sr ， 使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：∵2Sn=3an﹣3，
当n=1时，2a1=3a1﹣3，
∴a1=3．
当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3an﹣3）﹣（3an﹣1﹣3），
∴an=3an﹣1．
∴{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
∴an=3n．
∵ 
= 
+1，
∴ ﹣ =1，
∴{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴ =n．即Tn=n2．
当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
当n=1时，上式仍成立，
∴bn=2n﹣1．
（2）解：由（1）知cn= 
．
∴Pn=c1+c2+c3+…+cn= 
+ 
+ 
+ 
…+ ．①
∴ Pn= 
+ 
+ 
+…+ 
+ 
．②
①﹣②得： 
Pn= +2 +2 
+2 
+…+2 
﹣ = +2 
﹣ = ﹣ 
．
∴Pn=1﹣ 
．
（3）解：由（1）知{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴Sn= 
= 
．
假设数列{Sn}中存在不同的三项Sp，Sq，Sr，使这三项恰好构成等差数列，
∴Sp+Sr=2Sq．即 
+ 
=3q+1﹣3．
∴ 
．即3p+3r=23q．
则3p（1+3r﹣p）=23q．
∴ 
，
∴p=q=r．与假设矛盾、
∴数列{Sn}中不存在不同的三项Sp，Sq，Sr，使这三项恰好构成等差数列
【解析】（1）根据an= 
得出{an}为等比数列，由{ }为等差数列求出{ }的通项公式，再得出数列{an}，{bn}的通项公式；（2）使用错位相减法求和；（3）假设存在三项成等差数列，根据等差数列的性质化简得出矛盾．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占
，统计成绩后，得到如下的
列联表：
分数大于等于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
周做题时间不少于15小时 | 4 | 19 | |
周做题时间不足15小时 | |||
合计 | 45 |
（1）请完成上面的
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是
，求
的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
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附： 
