Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣3，数列{bn}的前n项和Tn满足 = +1且b1=1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Pn；
（3）数列{Sn}中是否存在不同的三项Sp ， Sq ， Sr ， 使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=3an﹣3，

当n=1时，2a1=3a1﹣3，

∴a1=3．

当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3an﹣3）﹣（3an﹣1﹣3），

∴an=3an﹣1．

∴{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列．

∴an=3n．

∵ = +1，

∴ ﹣ =1，

∴{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴ =n．即Tn=n2．

当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．

当n=1时，上式仍成立，

∴bn=2n﹣1．

（2）解：由（1）知cn= ．

∴Pn=c1+c2+c3+…+cn= + + + …+ ．①

∴ Pn= + + +…+ + ．②

①﹣②得： Pn= +2 +2 +2 +…+2 ﹣ = +2 ﹣ = ﹣ ．

∴Pn=1﹣ ．

（3）解：由（1）知{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，

∴Sn= = ．

假设数列{Sn}中存在不同的三项Sp，Sq，Sr，使这三项恰好构成等差数列，

∴Sp+Sr=2Sq．即 + =3q+1﹣3．

∴ ．即3p+3r=23q．

则3p（1+3r﹣p）=23q．

∴ ，

∴p=q=r．与假设矛盾、

∴数列{Sn}中不存在不同的三项Sp，Sq，Sr，使这三项恰好构成等差数列

【解析】（1）根据an= 得出{an}为等比数列，由{ }为等差数列求出{ }的通项公式，再得出数列{an}，{bn}的通项公式；（2）使用错位相减法求和；（3）假设存在三项成等差数列，根据等差数列的性质化简得出矛盾．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．