Question

11．已知数列{a_n}满足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ=4时，若b_n=$\frac{{{a_n}-（2n+1）•{r^n}}}{{（n+\frac{1}{2}）（1+{r^n}）}}$（r∈R，r≠-1），求$\lim_{n→∞}{b_n}$
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和．若对任意n∈N^*，是否存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立，若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n，得a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{λ}^{n-2}}$=（n-1）²+2（n-1），二者相减，并整理能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当λ=4时，a_n=（2n+1）•4^n-1，b_n=$\frac{2（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{1+{r}^{n}}$，由此根据r的取值进行分类讨论，能求出$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}$．
（3）${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，当λ≠1时，利用错位相减法得到（1-λ）S_n=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}-（2n+1）{λ}^{n}$，由此利用反证法能推导出对任意n∈N^*，不存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*），
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n，①
a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{λ}^{n-2}}$=（n-1）²+2（n-1），②
①-②，得：$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}=2n+1$，
∴a_n=（2n+1）•λ^n-1．
（2）当λ=4时，a_n=（2n+1）•4^n-1，
b_n=$\frac{{{a_n}-（2n+1）•{r^n}}}{{（n+\frac{1}{2}）（1+{r^n}）}}$=$\frac{（2n+1）•{4}^{n-1}-（2n+1）•{r}^{n}}{（n+\frac{1}{2}）（1+{r}^{n}）}$=$\frac{（2n+1）（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{（n+\frac{1}{2}）（1+{r}^{n}）}$=$\frac{2（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{1+{r}^{n}}$，
∴当|r|＞4时，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}=-2$，
当|r|＜4时，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}$不存在，
当|r|=4时，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}$=-$\frac{3}{2}$，
当r=-4时，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}$不存在．
（3）${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，
当λ≠1时，${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，
$λ{S}_{n}=3λ+5{λ}^{2}+…+（2n-1）{λ}^{n-1}+（2n+1）$λⁿ，
（1-λ）S_n=3+2（λ+λ²+λ³+…+λ^n-1）-（2n+1）•λⁿ=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}-（2n+1）{λ}^{n}$，
假设对任意n∈N^*，存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立，
∵$（1-λ）{S}_{n}+（2n+1）•{λ}^{n}$=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}$，
∴（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}$≤3，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}≤0$，
但是当0＜λ＜1时，1-λ^n-1＞0，1-λ＞0，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}＞0$，n≥2，
当λ＞1时，1-λ^n-1＜0，1-λ＜0，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}＞0，（n≥2）$，矛盾，假设不成立，
∴对任意n∈N^*，不存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的极限的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要注意错位相减法和反证法的合理运用．