Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且当n≥2时，满足：2a_n=S_n+n，
（1）求a₂，a₃的值，
（2）求数列{a_n}的通项公式，
（3）设f（x）=$\frac{5}{4}$n²+$\frac{11}{4}$n+3（n∈N^*），试比较S_n与f（n）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用当n≥2时2a_n=S_n+n及a₁=2代入计算即得结论；
（2）通过（1）可知数列{a_n+1}从第2项起是以5为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（3）通过（2）易知S_n的表达式，利用f（n）=$\frac{5}{4}$n²+$\frac{11}{4}$n+3（n∈N^*）计算可知当n＜4时S_n＜f（n）、当n＜4时S_n=f（n），利用数学归纳法即可证明当n≥5时S_n＞f（n）．

解答 解：（1）依题意，2a₂=a₁+a₂+2，
∴a₂=a₁+2=2+2=4，
∵当n≥2时，2a_n=S_n+n，
∴S_n=2a_n-n，
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
整理得：a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又∵a₂=4，
∴a₃=2（a₂+1）-1=9；
（2）由（1）可知数列{a_n+1}从第2项起是以5为首项、2为公比的等比数列，
∴当n≥2时，a_n=5•2^n-2-1，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{5•{2}^{n-2}-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（3）结论：当n＜4时S_n＜f（n），当n＜4时S_n=f（n），当n≥5时S_n＞f（n）．
理由如下：
由（2）易知S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{5•{2}^{n-1}-n-2，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
又∵f（n）=$\frac{5}{4}$n²+$\frac{11}{4}$n+3（n∈N^*），
当n=1时，S₁=2、f（1）=7，即S₁＜f（1）；
当n=2时，S₂=6、f（2）=$\frac{27}{2}$，即S₂＜f（2）；
当n=3时，S₃=15、f（3）=$\frac{45}{2}$，即S₃＜f（3）；
当n=4时，S₄=34、f（4）=34，即S₄=f（4）；
下面用数学归纳法来证明：当n≥5时S_n＞f（n）．
要证明当n≥5时S_n＞f（n），即证5•2^n-1-n-2＞$\frac{5}{4}$n²+$\frac{11}{4}$n+3，
即证5•2^n-1＞$\frac{5}{4}$n²+$\frac{15}{4}$n+5，即证2ⁿ⁺¹＞n²+3n+4，
①当n=5时，命题显然成立；
②假设当n=k（k＞5）时，有2^k+1＞k²+3k+4，
则2•2^k+1＞2（k²+3k+4）
=2k²+6k+8
=2（k+1）²+3（k+1）-k+3
=[（k+1）²+3（k+1）+4]+（k²+k）
＞（k+1）²+3（k+1）+4，
即当n=k+1时，命题成立；
综上所述，当n≥5时S_n＞f（n）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．