Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=5，又当n∈N^*，且n＞1时，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的前n项和为S_n．n＞1时，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$＜$\frac{3}{5}$，成立．当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5•{2}^{n-2}}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：设数列{a_n}的前n项和为S_n．
∵n＞1时，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1，
∴a_n+1=S_n，可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n+1=2a_n．
而a₂=a₁=5，
∴数列{a_n}从第二项起为等比数列，公比为2．
∴a_n=5×2^n-2（n≥2）．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5×{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）证明：当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$＜$\frac{3}{5}$，成立．
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5•{2}^{n-2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{2}^{n-2}}）$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$＜$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了递推公式、等比数列的通项公式与前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．