题目内容
3．
某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E：y2=2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标（xS，yS），如图．（Ⅰ）拖动点S，发现当xS=4时，yS=4，试求抛物线E的方程；
（Ⅱ）设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS．经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT∥NS．请你证明这一结论．
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F”改变为其它“定点G（g，0）（g≠0）”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．
分析 （Ⅰ）把xS=4，yS=4代入y2=2px，得p，即可求出抛物线E的方程；
（Ⅱ）设直线l：my=x-1，代入抛物线方程，求出M，N的坐标，可得$\overrightarrow{MT}$、$\overrightarrow{NS}$的坐标，证明$\overrightarrow{MT}$∥$\overrightarrow{NS}$，即可得出结论；
（Ⅲ）设抛物线E：y2=4x的顶点为A，定点G（g，0）（g≠0），过点G的直线l与抛物线E相交于S、T两点，直线AS、AT分别交直线x=-g于M、N两点，则MT∥NS．
解答 解：（Ⅰ）把xS=4，yS=4代入y2=2px，得p=2，…（3分）
因此，抛物线E的方程y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）因为抛物线E的焦点为F（1，0），设S（x1，y1），T（x2，y2），
依题意可设直线l：my=x-1，
代入抛物线方程得y2-4my-4=0，
则y1+y2=4m，y1y2=-4 ①…（6分）
又因为lAS：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，lAT：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$•x，
所以M（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），N（-1，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$），
所以$\overrightarrow{MT}$=（x2+1，y2+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），$\overrightarrow{NS}$=（x1+1，y1+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$），…（7分）
又因为（y2+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$）（x1+1）-（y1+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）（x2+1），…（8分）
=（y1-y2）（$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-16}{4{y}_{1}{y}_{2}}$），②
把①代入②，得（y1-y2）（$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-16}{4{y}_{1}{y}_{2}}$）=0，…（10分）
即（y2+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$）（x1+1）-（y1+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）（x2+1）=0，
所以$\overrightarrow{MT}$∥$\overrightarrow{NS}$，
又因为M、T、N、S四点不共线，所以MT∥NS．…（11分）
（Ⅲ）设抛物线E：y2=4x的顶点为A，定点G（g，0）（g≠0），过点G的直线l与抛物线E相交于S、T两点，直线AS、AT分别交直线x=-g于M、N两点，则MT∥NS．…（14分）
点评 本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．
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