题目内容
【题目】如图,已知抛物线焦点为
,过
上一点
作切线
,交
轴于点
,过点
作直线
交
于点
.
(1)证明:;
(2)设直线,
的斜率为
,
的面积为
,若
,求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)设过点与
相切的切线
,与抛物线联立,利用
可得
,进而可得
点坐标,再设直线
,与抛物线联立,利用韦达定理可得答案;
(2)利用(1)的结果可得,代入
,可得
与
的关系,再利用弦长公式和点到直线的距离公式求出
和点
到
的距离,则可表示出
,利用换元法和求导求其最小值.
(1)设过点与
相切的切线
,
联立,消去
得
,
由,
则,则
,
因为直线的斜率不为0,
设直线,联立方程
得
,
故;
(2)由(1)得,则
整理得
,即
,
当时,点
在
轴上方,必有
,与
矛盾
所以必有,则
,
则
故,
则,
点到
的距离
,
,
,令
,
则,
令,则
则对于函数,
则,
则函数在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,
,
故的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着生活节奏的加快以及智能手机的普及,外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯,由此催生了一批外卖点餐平台.已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关(该平台只给5千米范围内配送),为调査送餐员的送餐收入,现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如表:
送餐距离(千米) | (0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
频数 | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.
(1)若某送餐员一天送餐的总距离为100千米,试估计该送餐员一天的送餐份数;(四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关,规定2千米内为短距离,每份3元,2千米到4千米为中距离,每份7元,超过4千米为远距离,每份12元.记X为送餐员送一份外卖的收入(单位:元),求X的分布列和数学期望.