Question

【题目】已知椭圆C：()的左右焦点分别为，点满足：，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线l与C交于，不同的两点，且，问在x轴上是否存在定点N，使得直线，与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.若存在，求定点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定点为：.

【解析】

（1）根据椭圆的定义，结合代入法、三角形的面积公式进行求解即可；

（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，根据等腰三角形的性质，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、斜率公式进行求解即可.

（1）因为，所以点P在椭圆C上，

将代入，得①，

设椭圆C焦距为，则，所以，从而②，

由①②解得，，

所以椭圆C的方程为；

（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，

联立消去y整理得.

由，得，

则，，

假设存在点，因为直线，与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，所以.

设，则

，

即，所以，

化简得：，

解得.

故在x轴上存在定点，使得直线，与y轴围成的三角形始终在底边为y轴上的等腰三角形.