题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数在
上的极值;
(3)设函数,若
,且对任意的实数
,不等式
恒成立(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,
无极值;当
时,
的极小值为
,无极大值;(3)
.
【解析】
(1)代入,求导,求出斜率和切点,利用点斜式可写出直线方程;
(2)求导,分类讨论求出函数在
上单调性,列表,找到极值点,进而可得极值;
(3)对任意的,
恒成立,先通过
估算实数a的取值范围,再分
和
讨论,求导,求出
的最大值,列不等式求解即可.
(1)当时,
,
,
所以,
,
所以曲线在点
处的切线方程为
即;
(2),
.
①当时,
,
在
上单调增,所以
无极值;
②当时,令
,得
,列表如下:
x | |||
0 | |||
极小值 |
所以的极小值为
.
综上所述,当时,
无极值;
当时,
的极小值为
,无极大值;
(3)因为.
由题意,对任意的,
恒成立,所以
,
解得,又
,所以
.
①当时,因为
,所以
,当且仅当
时,取等号.
由(2)知,在
上单调增,所以
.
所以,当且仅当
时,取等号,
所以在
上单调增,则
,
解得,此时,
.
②当时,由(2)知,
在
上单调递增,且
,
又,所以存在
,且
,使得
,
即,得
.
所以的解为
和a,列表如下:
x | a | ||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
所以,
,即
,
又,所以
恒成立,此时,
.
综上所述,实数a的取值范围为.
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