Question

【题目】已知函数，函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意， 恒成立，构造函数，则有对任意， 恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．

试题解析：

（I）由题意得， ， ∴ .

当时， ，函数在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（II）由题意知.

，

当时，函数单调递增．

不妨设 ，又函数单调递减，

所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，

即对任意， 恒成立.

记，

由题意得在上单调递减.

所以对任意， 恒成立.

令， ，

则在上恒成立.

故，

而在上单调递增，

所以函数在上的最大值为.

由，解得.

故实数的最小值为．