Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据和都在椭圆上，代入椭圆方程，由求解.

（2）由（1）知：，设，当斜率不存在时，直线方程为，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，验证即可.当斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，将，转化为，将韦达定理代入求解.

（1）因为和都在椭圆上，

所以，

解得，

所以椭圆方程为：.

（2）由（1）知：，设，

当斜率不存在时，直线方程为，代入椭圆方程解得：，

所以，不成立.

当斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程化简得：

，

由韦达定理得：，

因为，

即，

即，

将代入上式得：

，

化简得：，

解得，

所以直线方程为：.

即