题目内容

12.(1)设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=$\sqrt{14}$,求x+y+z的值;
(2)设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为A,且$\frac{3}{2}$∈A,$\frac{1}{2}$∉A.求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

分析 (1)14=(x2+y2+z2)(1+4+9)=(x+2y+3z)2,结合柯西不等式,即可求x+y+z的值;
(2)由不等式|x-2|<a的解集为A,求出a=1,把a=1代入函数表达式,即可求出函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

解答 解:(1)由题14=(x2+y2+z2)(1+4+9)=(x+2y+3z)2
但由柯西不等式,(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2
当且仅当$x+2y+3z=\sqrt{14}$且$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$,即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{14}}}{14}}\\{y=\frac{{2\sqrt{14}}}{14}}\\{z=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}}\end{array}}\right.$时取等,
故取等条件必须成立,此时x+y+z=$\frac{{3\sqrt{14}}}{7}$
(2)因为$\frac{3}{2}∈A$,且$\frac{1}{2}∉A$,所以$|{\frac{3}{2}-2}|<a$,且$|{\frac{1}{2}-2}|≥a$
解得$\frac{1}{2}<a≤\frac{3}{2}$,
又因为a∈N*,所以a=1
因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3
当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取得等号,
所以f(x)的最小值为3

点评 本题考查柯西不等式,考查求函数的值域问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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