题目内容

18.已知函数f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=x2-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出图象,根据图象写出它的单调区间.

分析 设x<0则-x>0,利用已知的解析式和偶函数的性质求出x<0时的解析式,用分段函数的形式表示出来,根据二次函数的图象画出f(x)的图象,由图象求出f(x)的单调区间.

解答 解:设x<0,则-x>0,
∵x≥0时,f(x)=x2-2x+3,∴f(-x)=x2+2x+3,
∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2+2x+3,
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3,x≥0}\\{{x}^{2}+2x+3,x<0}\end{array}\right.$,
由二次函数的图象画出此函数的图象:
由图可得:函数f(x)的增区间是(-1,0)、(1,+∞),
减区间是(-∞,-1)、(0,1).

点评 本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,二次函数的图象,以及分段函数的单调性,属于基础题.

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