Question

5．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式、二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式化简解析式，由x的范围求出“$2x-\frac{π}{3}$”的范围，根据正弦函数的性质求出函数f（x）的值域；
（2）根据正弦函数的单调区间和函数的定义域，求出对应的x的范围，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x
=cosxsinx-$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，
∴0≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，则$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数f（x）的值域是[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
（2）由0≤$2x-\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{6}$，
由$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π$得，$\frac{5π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）的增区间是$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，减区间是$[\frac{5π}{6}，\frac{2π}{3}]$．

点评 本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．